Espacio Afin

Tarea2

Antes de hablar sobre el espacio afin, es estrictamente necesario abordar el concepto de espacio vectorial.

Espacio vectorial

• Un espacio vectorial se compone de escalares y vectores.

• Definimos las operaciones de suma (escalar y vectorial) y multiplicación escalar y escalar-vector

• Son operaciones cerradas: sumar dos vectores o multiplicar escalares por vectores nos dan otros vectores

• Además, existen elementos neutro e inverso.

• La multiplicación escalar-vector es distributiva respecto a la suma de escalares y a la suma de vectores

Ejemplos: vectores geométricos, grupos o tuplas de reales en Rⁿ

Otros conceptos de interés:

• Combinación lineal de vectores

• Independencia lineal

• Dimensión del espacio vectorial

• Bases de un espacio vectorial

• Representación de vectores en función de una base: coordenadas

• Cambio de coordenadas (atención a la relación entre cambio de bases y cambio de coordenadas; se basan en la transformación inversa)

Espacios afines

Los espacios vectoriales carecen de conceptos como posición y distancia (tenemos vectores, con magnitud y dirección, pero no están fijos a un punto).

Tampoco podemos definir un origen.

En los espacios afines nos aparece otra entidad: los “puntos”

Por tanto, en un espacio afín tenemos:

– Escalares

– Vectores: nos definen direcciones y desplazamientos

– Puntos, que nos especifican posiciones en el espacio

En un espacio afín podremos definir sistemas de referencia asociados a un origen concreto.

Definimos dos operaciones nuevas:

• Substracción de puntos P-Q: origina el vector v que va de Q a P

• Adición punto-vector: en el caso anterior, P = Q + v

• No está definida la suma de puntos (aunque sí algo que podemos considerar como un tipo especial de suma que llamaremos suma afín)

• Ahora podremos definir una base en el espacio afín, constituida por un origen O y una base del espacio vectorial asociado. En ella tanto puntos como vectores podrán ser representados (teniendo representaciones únicas)

Sistemas de referencia (espacio afín)

Necesitamos un punto (O, origen) y una base del espacio vectorial (i, j y k)

Cada punto y vector tiene una representación única. Por ejemplo, para 3D:

• Vectores: v = x . i + y . j + z . k (i, j y k son vectores unitarios en las direcciones de los ejes X, Y y Z)

• Puntos: P = a . v + O = a x . i + a y . j + a z . k + O

• Se pueden utilizar sus coordenadas, que para el vector v serían (x, y, z, 0), y para el punto P, (a x, a y, a z, 1)

NOTA: representamos un punto 3D por 4 coordenadas

• Se pueden tomar los vectores como equivalentes a un punto en el infinito (lo estudiaremos al ver las coordenadas homogéneas)

• Podemos definir sistemas de referencia de mano derecha y de mano izquierda.

Espacios euclídeos

Necesitamos todavía otros conceptos, como los de distancia y ortogonalidad.

Para ello, definimos el producto escalar de vectores:

u . v = | u | . | v | . cos (ө)

(ө: ángulo formado por u y v )

Propiedades del producto escalar:

• Conmutativa y asociativa (respecto a la suma de vectores y

multiplicación por un escalar)

• Si v ≠ 0, v . v > 0; 0 . 0 = 0

• Si u, v ≠ 0 y u . v = 0, ambos vectores son ortogonales

• El producto escalar nos permite calcular la distancia entre dos puntos (mediante el producto escalar del vector que los une) y el ángulo entre dos vectores.

El producto escalar nos permite:

• Calcular la distancia entre dos puntos (mediante el producto escalar del vector que los une) y el ángulo entre dos vectores

• Descomponer un vector u en sus componentes paralela y ortogonal a otro v (si tomamos un vector unitario en la dirección de v, su producto escalar con u nos da la proyección de u sobre v y su diferencia con u, nos da su componente ortogonal a v

• Hallar la mínima distancia entre un punto y una recta (podemos descomponer el vector que une el punto en cuestión con cualquiera de los de la recta en la componente normal al vector colineal con la recta)

Otros conceptos

• Producto vectorial de dos vectores: Nos permite obtener otro vector normal al plano definido por los otros dos

Módulo: | u x v | = | u | . | v | . sen (ө)

Dirección: perpendicular al plano definido por u y v

Sentido: regla del “sacacorchos”

• Sumas afines. Representación de segmentos y polígonos convexos

• Envolturas convexas

• Ecuaciones de líneas y planos

• Tratamiento de otras primitivas 3D (líneas y superficies curvas)

Transformaciones en el espacio afín 2D

Sistema de referencia en 2D:

Puntos y vectores: se representan mediante dos o tres coordenadas:

• P: (x, y, 1) o bien (x, y)

• v: (x, y, 0) o bien (x, y)

Proyecciones Geométricas

Tarea 3

Elementos de una proyección

La proyección de un objeto esta definido por:

o Rayos de proyección, llamados proyectores, que emanan del centro de proyección (COP) o punto de referencia de proyección (PRP), pasando a través de cada punto del objeto.

o El plano de proyección que es intersectado por los proyectores.

o El centro de proyección puede estar a una distancia finita o infinita del plano de proyección.

o Observación: El COP corresponde al centro del lente en la cámara, o en el ojo, y en los sistemas de gráfica por computadora, es el origen del marco de la cámara

Clasificación

Paralelas:

Ortográficas: elevación superior, frontal y lateral.

Axonométricas: Isometricas, Dimetricas y Trimetricas.

Oblicuas: Cabinet, Cavalier.

Perspectiva. Dependiendo del número de puntos de fuga tenemos:

De 1 punto.

De 2 puntos.

De 3 puntos.

Proyecciones Planares

La clase de proyecciones tratadas aquí se conocen como proyecciones geométricas planas, ya que la proyección es sobre un plano y no sobre una superficie curva, y usa proyectores rectos y no curvos. Muchas proyecciones cartográficas no son planas o geométricas, como el mapa del mundo.

Proyecciones paralelas

Ventajas:

Reproduce vistas de distintos lados del objeto.

Preserva dimensiones y ángulos relativos al objeto.

Desventaja: No proporciona el verdadero aspecto del objeto.

La distancia entre el centro de proyección y el plano de proyección no es finita.

Imagen

Proyecciones Ortogonales

• Ocurre cuando la dirección de proyección es perpendicular al plano de proyección

• Proporciona las vistas: laterales, frontales y superior (CAD).

Proyecciones oblicuas

• La dirección de proyección no es perpendicular al plano de proyección.

Proyecciones en perspectiva

La distancia entre el centro de proyección y el plano de proyección es finita.

Muestra un efecto visual realista salvo factores de escalamiento.

Son las mas usadas en computación gráfica.

Proyecciones en perspectiva

La elección adecuada del plano y centro de proyección puede facilitarnos mucho los cálculos.

Todas las rectas se cortan en un punto fuera del plano de proyección.

En las proyecciones perspectivas las rectas en la dirección de proyección son tales que pasan todas por un punto fijo que llamaremos centro de proyección

Las proyecciones en perspectiva producen vistas más realistas pero en general no mantienen las distancias ni los ángulos relativos.

Este tipo de proyección es la más usada en dibujo artístico.

Fustrum

El Frustrum se define como una piramide semi definita, siendo su base un poligono rectangular.

Ella define que es lo que partes se iran a visualizar desde la cámara, esto se denomina de Volumen de Visualización.

Puntos de fuga

Existe varios puntos de fuga en una escena, estas aparecen cuando las rectas paralelas convergen en un punto.

Si el punto de fuga se encuentra en uno de los ejes cartesianos, entonces se denomina de punto de fuga principal

• Perspectiva de un punto de fuga (vanishing point).

Perspectiva de dos puntos de fuga

Perspectiva de tres puntos de fuga

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RADIOSIDAD

• La síntesis de imágenes realistas es un campo de la informática gráfica.

• Objetivo: simular las propiedades ópticas y físicas de la luz, para obtener imágenes realistas de una escena virtual, de tal modo, que un observador no pueda distinguir entre la imagen real y la virtual.

Características:
o Trata con reflexiones difusas ideales (no permite modelar efectos ópticos)
o toda la energía recibida es reflejada (salvo aquella que se absorbe) por igual a lo largo de toda la superficie del objeto a tratar
Resultados:
o Mucha calidad
o innecesario recalcular la iluminación de la escena al cambio de cámara
o Muy caro
o Sensible a cambios de posición o forma de objetos

Aplicaciones:
Videojuegos
• Películas generadas por ordenador (total o parcialmente)
• Diseño de edificios
• Decoración
• Diseño de mobiliario
• Estudios de impacto en diseño de interiores y diseño ambiental
• Diseño de luminarias y predicción de sus propiedades
• Ingeniería civil: posicionamiento de luminarias
• Realismo para sistemas de realidad virtual

Descripción general del proceso

• El concepto básico determina la cantidad de energía que sale de una superficie, esto se deberá tanto a la energía propia que emita como a la que refleje procedente de otros puntos. Si consideramos esta energía por unidad de superficie tenemos lo que se llama Radiosidad
• Consideraciones que vamos a hacer para establecer un modelo computacional que nos permita determinar la Radiosidad en la escena:
• – Todos los objetos son reflectores difusos perfectos.
• – La escena esta descompuesta en superficies o patches, y el problema será encontrar la radiosidad (Bi) asociado a cada uno de ellos.
• – La radiosidad corresponde con el equilibrio energético de la escena
• Consecuencias:
• – No existen reflexiones especulares.
• – Las fuentes se consideran extensas.
• – Se realiza solo un balance energético.

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TRAZADO DE RAYOS

Técnica que nos permite visualizar mundos en 3D

Se puede describir generalmente de la siguiente forma:
Tira un rayo por cada píxel de la pantalla y lo hace rebotar por toda la escena una cantidad determinada de veces.
El rayo es un vector que se interfecta con los objetos de la escena.
El algoritmo básico tiene que comprobar la intersección con todos los objetos de la escena y de los objetos intersectados se elige el que más cerca del punto de visión o de la cámara.
Cuando un rayo interfecta en un objeto, el rayo rebota en varios más y esos a su vez van a seguir rebotando en otros objetos, hasta una profundidad que nosotros especifiquemos.

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ILUMINACIÓN GLOBAL

Es una técnica que trata de emular el comportamiento natural de la luz, a través de diversos algoritmos.

A diferencia de la iluminación local, en la que el objeto debe estar directamente iluminado por alguna fuente de luz y por consiguiente proyectar una sombra, en la realidad cuando un rayo de luz choca con un objeto puede pasar que el rayo es reflejado o que sea absorbido por el objeto, dependiendo del material de dicho objeto.

El modelo de iluminación global normalmente utiliza como parámetros de entrada las características físicas de los materiales de los que están hechos los objetos, las luces presentes en la escena, y los mecanismos de interacción entre objetos y luces que es calculado por una serie de algoritmos afines como ray casting, ray tracing, radiosity y photon map.

Se analiza también la cantidad de luz que recibe el objeto proveniente de otros objetos. Esto es lo que permite representar superficies tales como espejos o cristales.

El color e intensidad de un punto de un objeto se calcula en base a la luz que recibe directamente dicho objeto procedente de las fuentes, la luz que le llega indirectamente resultante de la reflexión y refracción en otros objetos de la escena, y la luz que emite el propio objeto.
En la ecuación de renderizado se expresa la luz que es transferida de un punto a otro en términos de la intensidad emitida del primero al segundo y también en términos de la luz emitida desde todos los puntos que se refleja en el primero y llega al segundo.

El proceso desde la representación de los objetos hasta los algoritmos de Iluminación Global es el siguiente:

La primera etapa genera modelos de los objetos, es decir los representa matemáticamente o por medio de aristas, vértices y polígonos.

Después se selecciona una escena y se aplican proyecciones para transformar la vista tridimensional en una vista bidimensional.


Luego se determinan las superficies que serán visibles al observador usando otros algoritmos.

Y por ultimo, el color que se asigna a cada píxel de la proyección de una superficie visible es una función de la luz reflejada y transmitida por los objetos y se determina con los métodos de iluminación Global (Ray Tracing o Radiosity).

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ILUMINACIÓN DE BLINN

Environment mapping

Método para simular reflexiones especulares con pocos cálculos desarrollado por James Blinn.

En 1978 Blinn propuso la técnica conocida como bump mapping. Consiste en usar la textura no para dibujar el color de los puntos del objeto, sino para darle apariencia rugosa. Usaba, sobre un objeto definido, una imagen en escala de grises en la que los colores claros significaban protuberancias y los oscuros huecos.

El método de Blinn es:
· Un método de sombreado de uso general.
· Es una variación del método de sombreado de Pong.
· En este método, los brillos aparecen más redondeados.
· Se pueden obtener brillos con ángulos bajos.

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MÉTODO DE ILUMINACIÓN DE PHONG

Se venía abordando el tema sin precisar un poco en algunos aspectos que se manejan normalmente, así pues me parece bien comenzar por citar dichos aspectos.

Reflexión especular

o La luz que llega al objeto rebota en una dirección concreta con una intensidad bastante alta.
o A medida que nos alejamos de la dirección del vector que rebota vemos menos esta reflexión.
o La forma de modelar este efecto se hace siguiendo las fórmulas de Phong.
Cada objeto tiene:
© Su color especular (OS)
© Su constante de reflexión especular (KS)
© Un exponente de reflexión (n).

Reflexiones de luz:

Reflexión difusa

La luz que llega al objeto rebota pero con menor intensidad que la especular y se difumina por su superficie.
Para modelar la reflexión difusa se usa la fórmula de Lambert (mucho más sencilla que la de Phong!).

Absorción

· La absorción es la parte de la luz que se “queda” en el objeto.
· Un objeto transparente no absorbe nada, un semitransparente sólo absorbe una parte de la luz y uno opaco la absorbe totalmente.
· La absorción se modela simplemente con una constante para cada objeto.

Transmisión y refracción

· La transmisión consiste en que la luz pasa a través de un objeto transparente y sale por el otro lado.
· La refracción es el fenómeno que se produce cuando la luz cambia de medio por el que viaja.
· Por ejemplo cuando la luz va por el aire y entra en el agua de una piscina, parece que el fondo está más cerca.

Luz Indirecta
La luz indirecta es la que emiten los objetos que rodean al que estamos estudiando.
La luz emitida por otros objetos no es que sean fuentes de luz, se trata de reflexiones.
Este tipo de efecto NO es modelable mediante raytracing y se requieren técnicas más avanzadas como la radiosidad para poder ver este efecto.

Finalmente con lo expuesto anteriormente resulta más comprensible el funcionamiento del algoritmo.

Algoritmo de Pong
El método Phong para iluminación local fue desarrollado por Bui Tuong Phong
Puede producir cierto grado de realismo en objetos tridimensionales combinando tres elementos: luz difusa, especular y ambiental para cada punto en una superficie.
Emplea muchas suposiciones, como por ejemplo:

v Que todas las luces son puntos.
v Solo una superficie geométrica es considerada
v Solo modelos locales de difusa y especular.
v Colores especulares son los mismos que los colores de luz y el ambiente es constante y global.

Por último es necesario mencionar que:

v En lugar de interpolar las intensidades como Gouraud , lo que hace Phong es interpolar las normales para cada punto de la superficie.

v Con este método es con el que se consiguen resultados mas realistas, pero tiene el inconveniente de que necesita realizar entre 6 y 7 veces mas cálculos que para el método de Gouraud.