miércoles, 11 de junio de 2008

Espacio Afin

Tarea2

Antes de hablar sobre el espacio afin, es estrictamente necesario abordar el concepto de espacio vectorial.

Espacio vectorial

• Un espacio vectorial se compone de escalares y vectores.

• Definimos las operaciones de suma (escalar y vectorial) y multiplicación escalar y escalar-vector

• Son operaciones cerradas: sumar dos vectores o multiplicar escalares por vectores nos dan otros vectores

• Además, existen elementos neutro e inverso.

• La multiplicación escalar-vector es distributiva respecto a la suma de escalares y a la suma de vectores

Ejemplos: vectores geométricos, grupos o tuplas de reales en Rn

Otros conceptos de interés:

• Combinación lineal de vectores

• Independencia lineal

• Dimensión del espacio vectorial

• Bases de un espacio vectorial

• Representación de vectores en función de una base: coordenadas

• Cambio de coordenadas (atención a la relación entre cambio de bases y cambio de coordenadas; se basan en la transformación inversa)

Espacios afines

Los espacios vectoriales carecen de conceptos como posición y distancia (tenemos vectores, con magnitud y dirección, pero no están fijos a un punto).

Tampoco podemos definir un origen.

En los espacios afines nos aparece otra entidad: los “puntos”

Por tanto, en un espacio afín tenemos:

– Escalares

– Vectores: nos definen direcciones y desplazamientos

– Puntos, que nos especifican posiciones en el espacio

En un espacio afín podremos definir sistemas de referencia asociados a un origen concreto.

Definimos dos operaciones nuevas:

• Substracción de puntos P-Q: origina el vector v que va de Q a P

• Adición punto-vector: en el caso anterior, P = Q + v

• No está definida la suma de puntos (aunque sí algo que podemos considerar como un tipo especial de suma que llamaremos suma afín)

• Ahora podremos definir una base en el espacio afín, constituida por un origen O y una base del espacio vectorial asociado. En ella tanto puntos como vectores podrán ser representados (teniendo representaciones únicas)

Sistemas de referencia (espacio afín)

Necesitamos un punto (O, origen) y una base del espacio vectorial (i, j y k)

Cada punto y vector tiene una representación única. Por ejemplo, para 3D:

• Vectores: v = x . i + y . j + z . k (i, j y k son vectores unitarios en las direcciones de los ejes X, Y y Z)

• Puntos: P = a . v + O = a x . i + a y . j + a z . k + O

• Se pueden utilizar sus coordenadas, que para el vector v serían (x, y, z, 0), y para el punto P, (a x, a y, a z, 1)

NOTA: representamos un punto 3D por 4 coordenadas

• Se pueden tomar los vectores como equivalentes a un punto en el infinito (lo estudiaremos al ver las coordenadas homogéneas)

• Podemos definir sistemas de referencia de mano derecha y de mano izquierda.

Espacios euclídeos

Necesitamos todavía otros conceptos, como los de distancia y ortogonalidad.

Para ello, definimos el producto escalar de vectores:

u . v = | u | . | v | . cos (ө)

(ө: ángulo formado por u y v )

Propiedades del producto escalar:

• Conmutativa y asociativa (respecto a la suma de vectores y

multiplicación por un escalar)

• Si v ≠ 0, v . v > 0; 0 . 0 = 0

• Si u, v ≠ 0 y u . v = 0, ambos vectores son ortogonales

• El producto escalar nos permite calcular la distancia entre dos puntos (mediante el producto escalar del vector que los une) y el ángulo entre dos vectores.

El producto escalar nos permite:

• Calcular la distancia entre dos puntos (mediante el producto escalar del vector que los une) y el ángulo entre dos vectores

• Descomponer un vector u en sus componentes paralela y ortogonal a otro v (si tomamos un vector unitario en la dirección de v, su producto escalar con u nos da la proyección de u sobre v y su diferencia con u, nos da su componente ortogonal a v

• Hallar la mínima distancia entre un punto y una recta (podemos descomponer el vector que une el punto en cuestión con cualquiera de los de la recta en la componente normal al vector colineal con la recta)

Otros conceptos

• Producto vectorial de dos vectores: Nos permite obtener otro vector normal al plano definido por los otros dos

Módulo: | u x v | = | u | . | v | . sen (ө)

Dirección: perpendicular al plano definido por u y v

Sentido: regla del “sacacorchos”

• Sumas afines. Representación de segmentos y polígonos convexos

• Envolturas convexas

• Ecuaciones de líneas y planos

• Tratamiento de otras primitivas 3D (líneas y superficies curvas)

Transformaciones en el espacio afín 2D

Sistema de referencia en 2D:


Puntos y vectores: se representan mediante dos o tres coordenadas:

• P: (x, y, 1) o bien (x, y)

• v: (x, y, 0) o bien (x, y)

lunes, 9 de junio de 2008

Proyecciones Geométricas

Tarea 3

Elementos de una proyección

La proyección de un objeto esta definido por:

o Rayos de proyección, llamados proyectores, que emanan del centro de proyección (COP) o punto de referencia de proyección (PRP), pasando a través de cada punto del objeto.

o El plano de proyección que es intersectado por los proyectores.

o El centro de proyección puede estar a una distancia finita o infinita del plano de proyección.

o Observación: El COP corresponde al centro del lente en la cámara, o en el ojo, y en los sistemas de gráfica por computadora, es el origen del marco de la cámara



Clasificación

Paralelas:

Ortográficas: elevación superior, frontal y lateral.

Axonométricas: Isometricas, Dimetricas y Trimetricas.

Oblicuas: Cabinet, Cavalier.

Perspectiva. Dependiendo del número de puntos de fuga tenemos:

De 1 punto.

De 2 puntos.

De 3 puntos.

Proyecciones Planares

La clase de proyecciones tratadas aquí se conocen como proyecciones geométricas planas, ya que la proyección es sobre un plano y no sobre una superficie curva, y usa proyectores rectos y no curvos. Muchas proyecciones cartográficas no son planas o geométricas, como el mapa del mundo.




Proyecciones paralelas

Ventajas:

Reproduce vistas de distintos lados del objeto.

Preserva dimensiones y ángulos relativos al objeto.

Desventaja: No proporciona el verdadero aspecto del objeto.

La distancia entre el centro de proyección y el plano de proyección no es finita.

Imagen

Proyecciones Ortogonales

Ocurre cuando la dirección de proyección es perpendicular al plano de proyección

Proporciona las vistas: laterales, frontales y superior (CAD).


Proyecciones oblicuas

La dirección de proyección no es perpendicular al plano de proyección.

Proyecciones en perspectiva

La distancia entre el centro de proyección y el plano de proyección es finita.

Muestra un efecto visual realista salvo factores de escalamiento.

Son las mas usadas en computación gráfica.

Proyecciones en perspectiva

La elección adecuada del plano y centro de proyección puede facilitarnos mucho los cálculos.

Todas las rectas se cortan en un punto fuera del plano de proyección.

En las proyecciones perspectivas las rectas en la dirección de proyección son tales que pasan todas por un punto fijo que llamaremos centro de proyección

Las proyecciones en perspectiva producen vistas más realistas pero en general no mantienen las distancias ni los ángulos relativos.

Este tipo de proyección es la más usada en dibujo artístico.



Fustrum

El Frustrum se define como una piramide semi definita, siendo su base un poligono rectangular.

Ella define que es lo que partes se iran a visualizar desde la cámara, esto se denomina de Volumen de Visualización.



Puntos de fuga

Existe varios puntos de fuga en una escena, estas aparecen cuando las rectas paralelas convergen en un punto.

Si el punto de fuga se encuentra en uno de los ejes cartesianos, entonces se denomina de punto de fuga principal



Perspectiva de un punto de fuga (vanishing point).


Perspectiva de dos puntos de fuga


Perspectiva de tres puntos de fuga